随机过程-国科大张颢P3-随机过程的谱分析-女友的姐姐漫画

谱的直观认识，谱意味着把某一类对象按照特定方式进行分解，在分解之后将这个对象的不同分量统一呈现出来的整体表现。对于随机过程来说也希望进行谱分析。

随机过程分解的是什么对象?

随机过程X(t)可以认为是一种随机的函数，给定t得到的一个随机变量。

而普通确定性函数x(t)可以进行谱分析，由傅里叶总结的。

(1) 周期的情况，x(t) = x(t+T)，x(t)可以进行展开成傅里叶级数，复指数表示形式与简谐运动相对应，傅里叶级数展开的成立是在均方意义下，不一定是逐点相等。展开要有区间，区间的长度是一个周期的长度[-pi/2,pi/2]，x(t)如果非周期也可以展开，只在展开区间内对应，区间外面展开式进行了周期延拓。

(2) 傅里叶级数开始让周期逐渐扩大 T->无穷大  这就是傅里叶变换。

傅里叶变换推广到随机信号上来，取极限会带来困难，因为如果傅里叶的积分想要收敛，要满足绝对可积，这就意味着信号在无穷远的地方呈现出一个比较明显的衰减趋于0。我们关注的随机过程往往具有平稳性，随机过程的某种特性随着时间的发展保持不变，这与之前的衰减存在矛盾。对于随机过程而言，做傅里叶积分大概率会发散。

解决办法，第一做短时的傅里叶变换，只能反映局部情况。第二，先做短时傅里叶变换，b求模取平方，将电平值转化为功率，在这个基础上再取期望在用T归一化，再令T->无穷大

根据计算得到的结果是 “相关函数的傅里叶变换”，为什么相关函数可以？因为相关函数往往存在着随着时间变化而衰减的特性，所以相关函数的傅里叶变换的收敛性没有任何问题。这个谱我们称为功率谱或功率谱密度 PSD。这个谱与频谱存在很多不同，表达的是功率并不是表达电瓶值，单位应该是焦耳，他是将功率沿着频率轴分解。功率谱不是频谱它是一个二阶量Second-order的，两个变量中间存在交叉相。功率一定是大于等于0的，从物理上来看，求模取平方，另一方面相关函数的傅里叶变换大于等于0，因为是相关函数的傅里叶变换大于等于0。两条截然不同的路径却得到了相同的结果。这种关系叫做Wiener-khinchin 关系。

功率谱密度的几个性质

1.一定是偶函数正负对称

2.线性系统的输入输出关系，线性时不变系统，确定信号的时域卷积等于频域相乘，那么随机信号呢；宽平稳随机过程经过线性时不变系统不改变宽平稳特性。输入输出的功率谱之间的关联，差一个传递函数的模的平方。尽管只有幅度信息没有相位信息，但这些已经足够。

第二种随机过程的解决办法，通过数学方法，将发散的函数看成某个原函数的导数。那些无穷大的奇异点相当于原函数不可微的点。这个叫做随机过程的谱表示。谱表示依然可以推导出通过线性是不变系统的相关结论。